Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 7 x + 6}{x^{2} + x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + 7 x + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 7 x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 7 x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 7 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 7 lim_{x \to - 1} x + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 7 lim_{x \to - 1} x + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 7 \cdot - 1 + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 + 7 \cdot - 1 + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 7 + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $7$ de $1$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.6.3

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Étape 1.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Étape 1.1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 1}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.4.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 7 x + 6}{x^{2} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $2 x + 7$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7}{2 x + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x + 7}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Étape 2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 7}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 7}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 7}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 7}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 7}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 7}{2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 + 7}{2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 4.1.2

Additionnez $- 2$ et $7$ .

$\frac{5}{2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5}{- 2 + 1}$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{5}{- 1}$

Étape 4.3

Divisez $5$ par $- 1$ .

$- 5$