Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 2.1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 2.1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 2.1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 2.1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 2.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 6 x - 16 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 6 x - 16 \cdot 1$

Étape 2.1.1.4.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 6 x - 16$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Étape 2.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 6 + 0$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 6$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - 6$ .

$2 x - 6$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 6 = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$2 x - 6 = 0$

Étape 2.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 6$

Étape 2.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 6$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 6$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.3.1

Divisez $6$ par $2$ .

$x = 3$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 2 (0) - 6$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Étape 5.2.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 3)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = 2 (6) - 6$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (6) = 12 - 6$

Étape 6.2.2

Soustrayez $6$ de $12$ .

$f'' (6) = 6$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(3, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8