Calcul infinitésimal Exemples

$y = - x^{4} + 9 x^{2} - 20$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 9 x^{2} - 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 4 x^{3} + 18 x$ et $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 18 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $18$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 x^{3} + 18 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 9 x^{2} - 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $- 4 x^{3} + 18 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 18 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} + 18 x$ .

$- 4 x^{3} + 18 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} + 18 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 4 x^{3} + 18 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 2 x (2 x^{2}) + 18 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $18 x$ .

$- 2 x (2 x^{2}) - 2 x \cdot - 9 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (2 x^{2}) - 2 x (- 9)$ .

$- 2 x (2 x^{2} - 9) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 9 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $2 x^{2} - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $2 x^{2} - 9$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 9 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $2 x^{2} - 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 9$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 9$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 9$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{2}$

Étape 5.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{9}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.4.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.3

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 x (2 x^{2} - 9) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(0)}^{2} + 18$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 18$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$0 + 18$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $18$ .

$18$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 9 {(0)}^{2} - 20$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - 0 + 9 {(0)}^{2} - 20$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 9 {(0)}^{2} - 20$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 9 \cdot 0 - 20$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $9$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 20$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 20$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $20$ de $0$ .

$f (0) = - 20$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 20$ .

$y = - 20$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 18$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$- 12 \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + 18$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{2}$ .

$- 12 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Étape 13.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 12 \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Étape 13.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 18$

Étape 13.1.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 18$

Étape 13.1.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Étape 13.1.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Étape 13.1.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 18$

Étape 13.1.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + 18$

Étape 13.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{4} + 18$

Étape 13.1.4

Multipliez $9$ par $2$ .

$- 12 (\frac{18}{4}) + 18$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{18}{4} + 18$

Étape 13.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 3 \frac{18}{4} + 18$

Étape 13.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 \cdot 18 + 18$

Étape 13.1.6

Multipliez $- 3$ par $18$ .

$- 54 + 18$

Étape 13.2

Additionnez $- 54$ et $18$ .

$- 36$

Étape 14

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{{(3 \sqrt{2})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.2.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 15.2.1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.2.2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 15.2.1.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.2.2.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{2}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $81$ par $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{324}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.5

Annulez le facteur commun à $324$ et $16$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $324$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 (81)}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 15.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Étape 15.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Étape 15.2.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.7.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Étape 15.2.1.7.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.2.1.7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Étape 15.2.1.7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 20$

Étape 15.2.1.7.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Étape 15.2.1.7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Étape 15.2.1.7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Étape 15.2.1.7.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Étape 15.2.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{4}) - 20$

Étape 15.2.1.9

Multipliez $9$ par $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{18}{4}) - 20$

Étape 15.2.1.10

Annulez le facteur commun à $18$ et $4$ .

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Étape 15.2.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 (9)}{4}) - 20$

Étape 15.2.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Étape 15.2.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Étape 15.2.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2}) - 20$

Étape 15.2.1.11

Multipliez $9 (\frac{9}{2})$ .

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Étape 15.2.1.11.1

Associez $9$ et $\frac{9}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{2} - 20$

Étape 15.2.1.11.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} - 20$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{81}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2} - 20$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{81}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 20$

Étape 15.2.2.3

Écrivez $- 20$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1}$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{- 20}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{- 20}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 - 20 \cdot 4}{4}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $81$ par $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 20 \cdot 4}{4}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $- 20$ par $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 80}{4}$

Étape 15.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.5.1

Additionnez $- 81$ et $162$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{81 - 80}{4}$

Étape 15.2.5.2

Soustrayez $80$ de $81$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 18$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 17.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}) + 18$

Étape 17.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) + 18$

Étape 17.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 18$

Étape 17.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 12 (1 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 18$

Étape 17.1.3

Multipliez $\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$- 12 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Étape 17.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1.4.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 12 \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Étape 17.1.4.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 17.1.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 18$

Étape 17.1.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 18$

Étape 17.1.4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Étape 17.1.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Étape 17.1.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 18$

Étape 17.1.4.2.5

Évaluez l’exposant.

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + 18$

Étape 17.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{4} + 18$

Étape 17.1.6

Multipliez $9$ par $2$ .

$- 12 (\frac{18}{4}) + 18$

Étape 17.1.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 17.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{18}{4} + 18$

Étape 17.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 3 \frac{18}{4} + 18$

Étape 17.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 \cdot 18 + 18$

Étape 17.1.8

Multipliez $- 3$ par $18$ .

$- 54 + 18$

Étape 17.2

Additionnez $- 54$ et $18$ .

$- 36$

Étape 18

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 19.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{4}$ par $- 1$ .

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Étape 19.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{5} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.1.4.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.4.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 19.2.1.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.4.2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 19.2.1.4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.4.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.4.2.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{2}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.6

Multipliez $81$ par $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{324}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.7

Annulez le facteur commun à $324$ et $16$ .

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Étape 19.2.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $324$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 (81)}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Étape 19.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 19.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}) - 20$

Étape 19.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}})) - 20$

Étape 19.2.1.8.3

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})) - 20$

Étape 19.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (1 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})) - 20$

Étape 19.2.1.10

Multipliez $\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Étape 19.2.1.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.1.11.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Étape 19.2.1.11.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 19.2.1.11.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Étape 19.2.1.11.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 20$

Étape 19.2.1.11.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Étape 19.2.1.11.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.11.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Étape 19.2.1.11.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Étape 19.2.1.11.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Étape 19.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{4}) - 20$

Étape 19.2.1.13

Multipliez $9$ par $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{18}{4}) - 20$

Étape 19.2.1.14

Annulez le facteur commun à $18$ et $4$ .

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Étape 19.2.1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 (9)}{4}) - 20$

Étape 19.2.1.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Étape 19.2.1.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Étape 19.2.1.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2}) - 20$

Étape 19.2.1.15

Multipliez $9 (\frac{9}{2})$ .

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Étape 19.2.1.15.1

Associez $9$ et $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{2} - 20$

Étape 19.2.1.15.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} - 20$

Étape 19.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 19.2.2.1

Multipliez $\frac{81}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2} - 20$

Étape 19.2.2.2

Multipliez $\frac{81}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 20$

Étape 19.2.2.3

Écrivez $- 20$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1}$

Étape 19.2.2.4

Multipliez $\frac{- 20}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 19.2.2.5

Multipliez $\frac{- 20}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 - 20 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.4.1

Multipliez $81$ par $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 20 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.4.2

Multipliez $- 20$ par $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 80}{4}$

Étape 19.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.5.1

Additionnez $- 81$ et $162$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{81 - 80}{4}$

Étape 19.2.5.2

Soustrayez $80$ de $81$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}$

Étape 19.2.6

La réponse finale est $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x^{4} + 9 x^{2} - 20$ .

$(0, - 20)$ est un minimum local

$(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{1}{4})$ est un maximum local

$(- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{1}{4})$ est un maximum local

Étape 21