Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x - 2}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{3 x - 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (3 x - 2) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x - 2) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (3 x - 2) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (3 x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Développez $(3 x - 2) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 3 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 x^{1 - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 3 x^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 10.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$