Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x - 2}{3 x + 6} d x$

Étape 1

Divisez $x - 2$ par $3 x + 6$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$6$

$x$

$2$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			+	$x$	+	$2$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 2$

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$
					-	$4$

Étape 1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int \frac{1}{3} - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{3} d x + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x + C + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x + C - \int \frac{4}{3 x + 6} d x$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x + C - (4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x)$

Étape 6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x$

Étape 7

Laissez $u = 3 x + 6$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 3 x + 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $3 x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 6]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 7.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 7.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 7.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 7.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Étape 8.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 u} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x + C - 4 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 4$ .

$\frac{1}{3} x + C + \frac{- 4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} (\ln (| u |) + C)$

Étape 12

Simplifiez

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| u |) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 6$ .

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| 3 x + 6 |) + C$