Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2 π} t^{2} \sin (2 t) d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t^{2}$ et $d v = \sin (2 t)$ .

$t^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 t))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\cos (2 t)$ et $\frac{1}{2}$ .

$t^{2} (- \frac{\cos (2 t)}{2})]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

Étape 2.2

Associez $t^{2}$ et $\frac{\cos (2 t)}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{2} \cdot 2$ est constant par rapport à $t$ , placez $- \frac{1}{2} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Étape 4.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{- 2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{- 1}{1} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

Étape 4.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - - \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + 1 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

Étape 4.5

Multipliez $\int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$ par $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = \cos (2 t)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + t (\frac{1}{2} \sin (2 t))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 t)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + t \frac{\sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

Étape 6.2

Associez $t$ et $\frac{\sin (2 t)}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (2 t) d t)$

Étape 8

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 8.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 8.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 8.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 8.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Étape 8.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Étape 8.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Étape 8.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 9

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

Étape 12

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Étape 13

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.1

Associez $- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π}$ et $\frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Étape 13.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.2.1

Insert parentheses.

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Étape 13.2.1.1

Évaluez $- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2} + \frac{t \sin (2 t)}{2}$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$(- \frac{{(2 π)}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2}) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Étape 13.2.1.2

Évaluez $- \cos (u)$ sur $4 π$ et sur $0$ .

$(- \frac{{(2 π)}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2}) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.2.2

Simplifiez

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Étape 13.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$- \frac{{(2 (π))}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (π)$ .

$- \frac{2^{2} π^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4 π^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{4 π^{2} \cos (4 π)}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 13.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π^{2} \cos (4 π)$ .

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2 (1)} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2 \cdot 1} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 π^{2} \cos (4 π)}{1} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.3.2.4

Divisez $2 π^{2} \cos (4 π)$ par $1$ .

$- (2 π^{2} \cos (4 π)) + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (4 π)}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.5.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (4 π)}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.5.2

Divisez $π \sin (4 π)$ par $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.6.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.6.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.6.3

Multipliez $0$ par $\cos (0)$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 13.7.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0}{1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- 0 + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.8

Multipliez par zéro.

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Étape 13.8.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.8.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0 \sin (0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.8.3

Multipliez $0$ par $\sin (0)$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 13.9.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0}{1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + 0) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.10.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.10.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 13.10.3

Additionnez $- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π)$ et $0$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

Étape 14

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 π^{2} \cos (0) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Étape 15.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 π^{2} \cdot 1 + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Étape 15.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 π^{2} + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Étape 15.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 π^{2} + π \sin (0) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Étape 15.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 π^{2} + π \cdot 0 - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Étape 15.6

Multipliez $π$ par $0$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Étape 15.7

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

Étape 15.8

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Étape 15.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- 1 + 1)$

Étape 15.10

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 15.11

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot 0$ .

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Étape 15.11.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$- 2 π^{2} + 0 + 0 (\frac{1}{4})$

Étape 15.11.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{4}$ .

$- 2 π^{2} + 0 + 0$

Étape 15.12

Additionnez $- 2 π^{2}$ et $0$ .

$- 2 π^{2} + 0$

Étape 15.13

Additionnez $- 2 π^{2}$ et $0$ .

$- 2 π^{2}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 π^{2}$

Forme décimale :

$- 19.73920880 \dots$