Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Étape 1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Étape 1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ comme ${u_{1}}^{3}$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ comme ${u_{1}}^{4}$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{1}}^{3}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 2.4

Associez $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ et $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Étape 4.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Étape 4.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ comme ${u_{2}}^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{2}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 5.3

Associez $\frac{u_{2}}{2}$ et $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 8

Laissez $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Alors $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Étape 8.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $- {u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Étape 8.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{2}$ dans $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 8.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 8.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{2}$ dans $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 1^{2}$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Étape 8.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 8.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Étape 8.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ , $d u_{3}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Étape 9.2

Associez $e^{u_{3}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}))$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 12.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{8} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 13

L’intégrale de $e^{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $e^{u_{3}}$ .

$- \frac{1}{8} e^{u_{3}}]_{0}^{- 1}$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $e^{u_{3}}$ sur $- 1$ et sur $0$ .

$- \frac{1}{8} ((e^{- 1}) - e^{0})$

Étape 14.2

Simplifiez

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Étape 14.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Étape 14.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1)$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{e} - 1)$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

Étape 15.3

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

Étape 15.4

Multipliez $- \frac{1}{8} \cdot - 1$ .

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Étape 15.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + 1 (\frac{1}{8})$

Étape 15.4.2

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + \frac{1}{8}$

Étape 15.5

Déplacez $8$ à gauche de $e$ .

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

Forme décimale :

$0.07901506 \dots$

Étape 17