Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Étape 1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Étape 1.2.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Étape 1.2.1.4

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\sin (6 - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Étape 1.2.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}$

Étape 1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}$

Étape 1.3.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\ln (4 - lim_{x \to 3} x)}$

Étape 1.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.4.2.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Étape 1.3.4.2.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x - 6$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.9

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x - 6)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cdot \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $\cos (2 x - 6)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 - x$ .

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Étape 3.11.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Étape 3.11.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Étape 3.11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Étape 3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Étape 3.13

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Étape 3.14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}$

Étape 3.17

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \cdot - 1}$

Étape 3.18

Associez $\frac{1}{4 - x}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{- 1}{4 - x}}$

Étape 3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{- \frac{1}{4 - x}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 3} 2 \cos (2 x - 6) (- (4 - x))$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 3} - 2 \cos (2 x - 6) (4 - x)$

Étape 6

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) (4 - x)$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Étape 10

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Étape 11

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)$

Étape 13

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 2 \cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

Étape 15.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 2 \cos (6 - 6) \cdot (4 - 3)$

Étape 15.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$- 2 \cos (0) \cdot (4 - 3)$

Étape 15.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot (4 - 3)$

Étape 15.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \cdot (4 - 3)$

Étape 15.5

Soustrayez $3$ de $4$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 15.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$