Calcul infinitésimal Exemples

Let $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ .

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ .

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2, 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Étape 4.1.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Étape 4.1.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 9 \cdot 4 + 12 (2)$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$16 - 36 + 12 (2)$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $12$ par $2$ .

$16 - 36 + 24$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $36$ de $16$ .

$- 20 + 24$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 20$ et $24$ .

$4$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Étape 4.2.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 - 9 \cdot 1 + 12 (1)$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$2 - 9 + 12 (1)$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $12$ par $1$ .

$2 - 9 + 12$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $9$ de $2$ .

$- 7 + 12$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 7$ et $12$ .

$5$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(2, 4), (1, 5)$

Étape 5