Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{9} - 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 28$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ et ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ à partir de ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$ par $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $i$ et $0$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - (i - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $i$ de $i$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $i$ par $1$ dans $- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ .

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{0}$

Étape 3.2.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0})$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Étape 3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - 28 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Étape 3.2.4

Multipliez $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ par $1$ .

$a = - 28 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Étape 3.2.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - 28 \frac{1}{2^{0}}$

Étape 3.2.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.7

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$a = - 28 \cdot 1$

Étape 3.2.8

Multipliez $- 28$ par $1$ .

$a = - 28$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$- 28 \frac{1 - {(- \frac{1}{2})}^{9}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{2})}^{9})}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{2^{9}})}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{9}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{9}$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{9}$ par $- 1$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.2.3

Additionnez $9$ et $1$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $10$ .

$- 28 \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.4

Multipliez $\frac{1^{9}}{2^{9}}$ par $1$ .

$- 28 \frac{1 + \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.6

Élevez $2$ à la puissance $9$ .

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- 28 \frac{\frac{512}{512} + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 28 \frac{\frac{512 + 1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.9

Additionnez $512$ et $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + \frac{1}{2}}$

Étape 5.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2 + 1}{2}}$

Étape 5.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{3}{2}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 28 (\frac{513}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $513$ .

$- 28 (\frac{3 (171)}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$- 28 (\frac{3 \cdot 171}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 28 (\frac{171}{512} \cdot 2)$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $512$ .

$- 28 (\frac{171}{2 (256)} \cdot 2)$

Étape 5.5.2

Annulez le facteur commun.

$- 28 (\frac{171}{2 \cdot 256} \cdot 2)$

Étape 5.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 28 (\frac{171}{256})$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 28$ .

$4 (- 7) \frac{171}{256}$

Étape 5.6.2

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

Étape 5.6.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression.

$- 7 (\frac{171}{64})$

Étape 5.7

Associez $- 7$ et $\frac{171}{64}$ .

$\frac{- 7 \cdot 171}{64}$

Étape 5.8

Multipliez $- 7$ par $171$ .

$\frac{- 1197}{64}$

Étape 5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1197}{64}$