Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arcsin (\frac{x}{4})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{x}{4}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arcsin (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \cdot 1$

Étape 3.2.4

Multipliez $\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4^{2}}}}$

Étape 3.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$