Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ et $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $20 x^{3} - 24 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ et $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

Étape 5.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 4 = 20$ et dont la somme est $b = - 12$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12 u$ .

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez $- 12$ comme $- 2$ plus $- 10$

$5 u^{2} + (- 2 - 10) u + 4 = 0$

Étape 5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 u^{2} - 2 u - 10 u + 4 = 0$

Étape 5.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 u^{2} - 2 u) - 10 u + 4 = 0$

Étape 5.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (5 u - 2) - 2 (5 u - 2) = 0$

Étape 5.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 u - 2$ .

$(5 u - 2) (u - 2) = 0$

Étape 5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 u - 2 = 0$

$u - 2 = 0$

Étape 5.5

Définissez $5 u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $5 u - 2$ égal à $0$ .

$5 u - 2 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $5 u - 2 = 0$ pour $u$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$5 u = 2$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 u = 2$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 u = 2$ par $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{2}{5}$

Étape 5.6

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 u - 2) (u - 2) = 0$ vraie.

$u = \frac{2}{5}, 2$

Étape 5.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{2}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 2$

Étape 5.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Étape 5.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Étape 5.10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 5.10.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.10.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.10.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.10.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 5.10.2.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 5.10.2.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 5.10.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 5.10.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 5.10.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.10.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.10.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.10.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.10.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.10.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.10.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 5.10.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.10.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.10.2.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Étape 5.10.2.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 5.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 5.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 5.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 5.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 2$

Étape 5.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 2$

Étape 5.12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 5.12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 5.12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 5.12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 5.13

La solution à $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ est $x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{3}$ comme $\sqrt{10^{3}}$ .

$20 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.2.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$20 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.2.3

Réécrivez $1000$ comme $10^{2} \cdot 10$ .

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Étape 9.1.2.3.1

Factorisez $100$ à partir de $1000$ .

$20 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.2.3.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$20 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$5 (4) \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.4.2

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{10 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.5

Associez $4$ et $\frac{10 \sqrt{10}}{25}$ .

$\frac{4 (10 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.6

Multipliez $10$ par $4$ .

$\frac{40 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.7

Annulez le facteur commun à $40$ et $25$ .

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Étape 9.1.7.1

Factorisez $5$ à partir de $40 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.8

Associez $- 24$ et $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{- 24 \sqrt{10}}{5}$

Étape 9.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

Étape 9.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \sqrt{10} - 24 \sqrt{10}}{5}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $24 \sqrt{10}$ de $8 \sqrt{10}$ .

$\frac{- 16 \sqrt{10}}{5}$

Étape 9.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16 \sqrt{10}}{5}$

Étape 10

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{10}}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{5}$ comme $\sqrt{10^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.2.2

Élevez $10$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.2.3

Réécrivez $100000$ comme $100^{2} \cdot 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.3.1

Factorisez $10000$ à partir de $100000$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.2.3.2

Réécrivez $10000$ comme $100^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun à $100$ et $3125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $25$ à partir de $100 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.2.1

Factorisez $25$ à partir de $3125$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.6.1

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{3}$ comme $\sqrt{10^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.6.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.6.3

Réécrivez $1000$ comme $10^{2} \cdot 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.6.3.1

Factorisez $100$ à partir de $1000$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.6.3.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.6.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.7

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.8

Annulez le facteur commun à $10$ et $125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.8.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.9

Multipliez $- 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.9.1

Associez $- 4$ et $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.9.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 11.2.1.11

Associez $4$ et $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- \frac{8 \sqrt{10}}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 11.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $125$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.1

Multipliez $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $25$ par $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 11.2.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1.1

Multipliez $5$ par $- 8$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 40 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 11.2.5.1.2

Soustrayez $40 \sqrt{10}$ de $4 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 11.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 11.2.6

Pour écrire $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

Étape 11.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $125$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.7.1

Multipliez $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ par $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

Étape 11.2.7.2

Multipliez $5$ par $25$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Étape 11.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Étape 11.2.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.9.1

Multipliez $25$ par $4$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

Étape 11.2.9.2

Additionnez $- 36 \sqrt{10}$ et $100 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Étape 11.2.10

La réponse finale est $\frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ .

$y = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$20 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{3}$ comme $\sqrt{10^{3}}$ .

$20 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.3.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$20 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.3.3

Réécrivez $1000$ comme $10^{2} \cdot 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.3.3.1

Factorisez $100$ à partir de $1000$ .

$20 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.3.3.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$20 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{10 \sqrt{10}}{125}$ dans le numérateur.

$20 \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.5.2

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$5 (4) \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.5.3

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.6

Associez $4$ et $\frac{- 10 \sqrt{10}}{25}$ .

$\frac{4 (- 10 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.7

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$\frac{- 40 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.8

Annulez le facteur commun à $- 40$ et $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.8.1

Factorisez $5$ à partir de $- 40 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Étape 13.1.10

Multipliez $- 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 13.1.10.2

Associez $24$ et $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

Étape 13.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 \sqrt{10} + 24 \sqrt{10}}{5}$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 8 \sqrt{10}$ et $24 \sqrt{10}$ .

$\frac{16 \sqrt{10}}{5}$

Étape 14

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{5}$ comme $\sqrt{10^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.3.2

Élevez $10$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.3.3

Réécrivez $100000$ comme $100^{2} \cdot 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.3.3.1

Factorisez $10000$ à partir de $100000$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.3.3.2

Réécrivez $10000$ comme $100^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.5

Annulez le facteur commun à $100$ et $3125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.5.1

Factorisez $25$ à partir de $100 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.5.2.1

Factorisez $25$ à partir de $3125$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}})) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.8.1

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{3}$ comme $\sqrt{10^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.8.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.8.3

Réécrivez $1000$ comme $10^{2} \cdot 10$ .

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Étape 15.2.1.8.3.1

Factorisez $100$ à partir de $1000$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.8.3.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.8.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.9

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.10

Annulez le facteur commun à $10$ et $125$ .

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Étape 15.2.1.10.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.10.2.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.11

Multipliez $- 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25})$ .

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Étape 15.2.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.11.2

Associez $4$ et $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.11.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Étape 15.2.1.12

Multipliez $4 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ .

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Étape 15.2.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - 4 \frac{\sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 15.2.1.12.2

Associez $- 4$ et $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{- 4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 15.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 15.2.2

Pour écrire $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 15.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $125$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $25$ par $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 15.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.1

Multipliez $5$ par $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 40 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $- 4 \sqrt{10}$ et $40 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Étape 15.2.6

Pour écrire $- \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

Étape 15.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $125$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.7.1

Multipliez $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ par $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

Étape 15.2.7.2

Multipliez $5$ par $25$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Étape 15.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Étape 15.2.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.9.1.1

Multipliez $25$ par $- 4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

Étape 15.2.9.1.2

Soustrayez $100 \sqrt{10}$ de $36 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Étape 15.2.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Étape 15.2.10

La réponse finale est $- \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ .

$y = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(\sqrt{2})}^{3} - 24 \sqrt{2}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$20 \sqrt{2^{3}} - 24 \sqrt{2}$

Étape 17.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$20 \sqrt{8} - 24 \sqrt{2}$

Étape 17.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 17.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$20 \sqrt{4 (2)} - 24 \sqrt{2}$

Étape 17.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$20 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 24 \sqrt{2}$

Étape 17.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$20 (2 \sqrt{2}) - 24 \sqrt{2}$

Étape 17.1.5

Multipliez $2$ par $20$ .

$40 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2}$

Étape 17.2

Soustrayez $24 \sqrt{2}$ de $40 \sqrt{2}$ .

$16 \sqrt{2}$

Étape 18

$x = \sqrt{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{2}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{5} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{5}$ comme $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{5}} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Étape 19.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{32} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Étape 19.2.1.3

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.3.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{16 (2)} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Étape 19.2.1.3.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Étape 19.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Étape 19.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{3}} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Étape 19.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{8} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Étape 19.2.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{4 (2)} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Étape 19.2.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Étape 19.2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 (2 \sqrt{2}) + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Étape 19.2.1.9

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.2.1

Soustrayez $8 \sqrt{2}$ de $4 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $- 4 \sqrt{2}$ et $4 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 0 - 1$

Étape 19.2.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (\sqrt{2}) = - 1$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(- \sqrt{2})}^{3} - 24 (- \sqrt{2})$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

Étape 21.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$20 (- {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

Étape 21.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$20 (- \sqrt{2^{3}}) - 24 (- \sqrt{2})$

Étape 21.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$20 (- \sqrt{8}) - 24 (- \sqrt{2})$

Étape 21.1.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$20 (- \sqrt{4 (2)}) - 24 (- \sqrt{2})$

Étape 21.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$20 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Étape 21.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$20 (- (2 \sqrt{2})) - 24 (- \sqrt{2})$

Étape 21.1.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$20 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Étape 21.1.8

Multipliez $- 2$ par $20$ .

$- 40 \sqrt{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Étape 21.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$- 40 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2}$

Étape 21.2

Additionnez $- 40 \sqrt{2}$ et $24 \sqrt{2}$ .

$- 16 \sqrt{2}$

Étape 22

$x = - \sqrt{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{2}$ est un maximum local

Étape 23

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{5}$ comme $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{5}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{32} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.5

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{16 (2)} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{2}) = - (4 \sqrt{2}) - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.8

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{3}}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{8}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.12

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 23.2.1.12.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{4 (2)}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.12.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- (2 \sqrt{2})) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.15

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Étape 23.2.1.16

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

Étape 23.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.2.1

Additionnez $- 4 \sqrt{2}$ et $8 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

Étape 23.2.2.2

Soustrayez $4 \sqrt{2}$ de $4 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 - 1$

Étape 23.2.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 1$

Étape 23.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 24

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ .

$(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ est un maximum local

$(- \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ est un minimum local

$(\sqrt{2}, - 1)$ est un minimum local

$(- \sqrt{2}, - 1)$ est un maximum local

Étape 25