Calcul infinitésimal Exemples

${(e^{x} + 1)}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(e^{x} + 1)}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(e^{x} + 1)}^{2}$ comme $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ .

$\int (e^{x} + 1) (e^{x} + 1) d x$

Étape 4.2

Développez $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} (e^{x} + 1) + 1 (e^{x} + 1) d x$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{x} + 1) d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{x + x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.3.1.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 d x$

Étape 4.3.2

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} + 2 e^{x} + 1 d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Étape 6

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Étape 7

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Étape 10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{x} d x + \int d x$

Étape 11

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + \int d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + x + C$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{x} + x + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$