Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} π {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Étape 1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , placez $π$ en dehors de l’intégrale.

$π \int_{0}^{2} {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 4 - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $4 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 2 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 2.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 - 2 x$ .

$u_{lower} = 4 - 2 \cdot 0$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 - 2 x$ .

$u_{upper} = 4 - 2 \cdot 2$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$π \int_{4}^{0} u^{2} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$π \int_{4}^{0} u^{2} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 3.2

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{u^{2}}{2} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{u^{2}}{2} d u)$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$π (- (\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Étape 6

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{π}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $0$ et sur $4$ .

$- \frac{π}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{π}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Étape 8.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Étape 8.2.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Étape 8.2.4

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$- \frac{π}{2} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Étape 8.2.5

Associez $- 64$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{π}{2} (0 + \frac{- 64}{3})$

Étape 8.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{64}{3})$

Étape 8.2.7

Soustrayez $\frac{64}{3}$ de $0$ .

$- \frac{π}{2} (- \frac{64}{3})$

Étape 8.2.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{π}{2} \frac{64}{3}$

Étape 8.2.9

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Étape 8.2.10

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{64}{3}$ .

$\frac{π \cdot 64}{2 \cdot 3}$

Étape 8.2.11

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{π \cdot 64}{6}$

Étape 8.2.12

Déplacez $64$ à gauche de $π$ .

$\frac{64 \cdot π}{6}$

Étape 8.2.13

Annulez le facteur commun à $64$ et $6$ .

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Étape 8.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $64 π$ .

$\frac{2 (32 π)}{6}$

Étape 8.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (32 π)}{2 (3)}$

Étape 8.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (32 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 8.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32 π}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{32 π}{3}$

Forme décimale :

$33.51032163 \dots$

Étape 10