Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (5 x + y) = y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (5 x + y)) = \frac{d}{d x} (y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x + y$ .

$- \sin (5 x + y) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (5 x + y) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (5 x + y) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (5 x + y) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$- \sin (5 x + y) (5 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \sin (5 x + y) (5 + y')$

Étape 3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $- \sin (5 x + y) (5 + y')$ .

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Étape 5.1.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 - \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin (5 x + y) \cdot 5 - \sin (5 x + y) y' = y'$

Étape 5.1.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1.4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y' = y'$

Étape 5.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y'$ .

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) = y'$

Étape 5.2

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) - y' = 0$

Étape 5.3

Ajoutez $5 \sin (5 x + y)$ aux deux côtés de l’équation.

$- y' \sin (5 x + y) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $- y' \sin (5 x + y) - y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y' \sin (5 x + y)$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1 = 5 \sin (5 x + y)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1 \sin (5 x + y)$ comme $- \sin (5 x + y)$ .

$y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ par $- \sin (5 x + y) - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ par $- \sin (5 x + y) - 1$ .

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- \sin (5 x + y) - 1$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (5 x + y) - 1$ .

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Étape 5.6.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (5 x + y)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1}$

Étape 5.6.3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)}$

Étape 5.6.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y) + 1)}$

Étape 5.6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$