Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + x + 7$ ;, $(- 2, - 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 2$ et $y = - 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 1 + 0$

Étape 1.5

Additionnez $3 x^{2} + 1$ et $0$ .

$3 x^{2} + 1$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = - 2$ .

$3 {(- 2)}^{2} + 1$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 4 + 1$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 + 1$

Étape 1.7.2

Additionnez $12$ et $1$ .

$13$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $13$ et un point donné, tel que $(- 2, - 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 13 \cdot (x - (- 2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 3 = 13 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $13 \cdot (x + 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 3 = 0 + 0 + 13 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 3 = 13 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 3 = 13 x + 13 \cdot 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $13$ par $2$ .

$y + 3 = 13 x + 26$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = 13 x + 26 - 3$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $3$ de $26$ .

$y = 13 x + 23$

Étape 3