Calcul infinitésimal Exemples

Let $g (x) = x^{4} - x^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$4 x^{3} - (5 x^{4})$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4}$

Étape 1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$g'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$g'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$4 x^{3} - (5 x^{4})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4}$

Étape 4.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ .

$- 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $- x^{3}$ à partir de $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $- x^{3}$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$- x^{3} (5 x) + 4 x^{3} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $- x^{3}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$- x^{3} (5 x) - x^{3} \cdot - 4 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $- x^{3}$ à partir de $- x^{3} (5 x) - x^{3} (- 4)$ .

$- x^{3} (5 x - 4) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$5 x - 4 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $5 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $5 x - 4$ égal à $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $5 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 4$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 4$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x^{3} (5 x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{4}{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{4}{5}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 20 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 20 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 20$ par $0$ .

$0 + 12 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 12 \cdot 0$

Étape 9.1.4

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$g' (- 2) = - 5 {(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$g' (- 2) = - 5 \cdot 16 + 4 {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $16$ .

$g' (- 2) = - 80 + 4 {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$g' (- 2) = - 80 + 4 \cdot - 8$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$g' (- 2) = - 80 - 32$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $32$ de $- 80$ .

$g' (- 2) = - 112$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- 112$ .

$- 112$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $0.4$ , de l’intervalle $(0, \frac{4}{5})$ dans la dérivée première $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0.4$ dans l’expression.

$g' (0.4) = - 5 {(0.4)}^{4} + 4 {(0.4)}^{3}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $0.4$ à la puissance $4$ .

$g' (0.4) = - 5 \cdot 0.0256 + 4 {(0.4)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $0.0256$ .

$g' (0.4) = - 0.128 + 4 {(0.4)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $0.4$ à la puissance $3$ .

$g' (0.4) = - 0.128 + 4 \cdot 0.064$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $4$ par $0.064$ .

$g' (0.4) = - 0.128 + 0.256$

Étape 10.3.2.2

Additionnez $- 0.128$ et $0.256$ .

$g' (0.4) = 0.128$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $0.128$ .

$0.128$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(\frac{4}{5}, \infty)$ dans la dérivée première $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$g' (3) = - 5 {(3)}^{4} + 4 {(3)}^{3}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$g' (3) = - 5 \cdot 81 + 4 {(3)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $81$ .

$g' (3) = - 405 + 4 {(3)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$g' (3) = - 405 + 4 \cdot 27$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $4$ par $27$ .

$g' (3) = - 405 + 108$

Étape 10.4.2.2

Additionnez $- 405$ et $108$ .

$g' (3) = - 297$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $- 297$ .

$- 297$

Étape 10.5

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{4}{5}$ , $x = \frac{4}{5}$ est un maximum local.

$x = \frac{4}{5}$ est un maximum local

Étape 10.7

Ce sont les extrema locaux pour $g (x) = x^{4} - x^{5}$ .

$x = 0$ est un minimum local

$x = \frac{4}{5}$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = \frac{4}{5}$ est un maximum local

Étape 11