Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (e^{3 x} + x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = e^{3 x} + x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{3 x} + x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{3 x} + x$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{3 x} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ .

$(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}$

Étape 5.2

Multipliez $3 e^{3 x} + 1$ par $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ .

$\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$