Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

Étape 1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (x^{2}) x$

Étape 1.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \sin (x^{2}) x$ .

$f' (x) = - 2 x \sin (x^{2})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x \sin (x^{2})$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 2 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x^{2})$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $\sin (x^{2})$ par $1$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 2 \sin (x^{2})$

Étape 2.11.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$ .

$- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$