Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{2} {(x - 6)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(x - 6)}^{2}$ comme $(x - 6) (x - 6)$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x - 6) (x - 6))$

Étape 2

Développez $(x - 6) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x - 6) - 6 (x - 6))$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Étape 3.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)$

Étape 3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 12 x + 36)$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot 36$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (18))$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 18)$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + 18$

Étape 6

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 7

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 7.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 6}{2 (0.5)}$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 6}{2 (0.5)}$

Étape 7.3

Simplifiez $- \frac{- 6}{2 (0.5)}$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 7.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 0.5}$

Étape 7.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 0.5$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 (0.5)}$

Étape 7.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 0.5}$

Étape 7.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{- 3}{0.5}$

Étape 7.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.2.1

Divisez $- 3$ par $0.5$ .

$x = - - 6$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$x = 6$

Étape 8

Évaluez $f (6)$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{2} - 6 \cdot 6 + 18$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = \frac{36}{2} - 6 \cdot 6 + 18$

Étape 8.2.1.2

Divisez $36$ par $2$ .

$f (6) = 18 - 6 \cdot 6 + 18$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$f (6) = 18 - 36 + 18$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $36$ de $18$ .

$f (6) = - 18 + 18$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $- 18$ et $18$ .

$f (6) = 0$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 9

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(6, 0)$

Étape 10