Calcul infinitésimal Exemples

$2 y^{3} + 4 x^{2} - y = x^{6}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (2 y^{3} + 4 x^{2} - y) = \frac{d}{d y} (x^{6})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{3} + 4 x^{2} - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y^{3}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$6 y^{2} + 4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$6 y^{2} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 y^{2} + 4 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$6 y^{2} + 4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$6 y^{2} + 4 (2 x x') + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$6 y^{2} + 8 x x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - 1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{6}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$6 x^{5} x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 = 6 x^{5} x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $6 x^{5} x'$ des deux côtés de l’équation.

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $6 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2}$

Étape 5.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x x' - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

Étape 5.3

Factorisez $2 x x'$ à partir de $8 x x' - 6 x^{5} x'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2 x x'$ à partir de $8 x x'$ .

$2 x x' \cdot 4 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $2 x x'$ à partir de $- 6 x^{5} x'$ .

$2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $2 x x'$ à partir de $2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4})$ .

$2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ par $2 x (4 - 3 x^{4})$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ par $2 x (4 - 3 x^{4})$ .

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $4 - 3 x^{4}$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 y^{2}$ .

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (4 - 3 x^{4})$ .

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$