Calcul infinitésimal Exemples

$- y^{3} - 4 x^{2} = - 4 x^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} - 4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- y^{3} - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 y^{2} y' - 4 (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 3 y^{2} y' - 8 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$- 12 x^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 3 y^{2} y' - 8 x = - 12 x^{2}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $8 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$ par $- 3 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$ par $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $- 3$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 (y^{2})} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} - \frac{8 x}{3 y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} - \frac{8 x}{3 y^{2}}$