Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $x^{2} + 2 x - 3$ et $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $x^{2} + 2 x - 3$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 2 x - 3$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} + 2 x - 3$ .

$x^{2} + 2 x - 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 5.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 1, - 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1, - 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (1) + 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2$

Étape 9.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$4$

Étape 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 1 + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Étape 11.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 \cdot 1 - 8$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 8$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - 3 - 8$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 3 - 8$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 3 - 8$

Étape 11.2.2.4

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3}{1} - 8$

Étape 11.2.2.5

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8$

Étape 11.2.2.6

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} - 8$

Étape 11.2.2.7

Écrivez $- 8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1}$

Étape 11.2.2.8

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.2.9

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{1 + 3 - 3 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 9 - 8 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 9 - 24}{3}$

Étape 11.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.5.1

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (1) = \frac{4 - 9 - 24}{3}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $9$ de $4$ .

$f (1) = \frac{- 5 - 24}{3}$

Étape 11.2.5.3

Soustrayez $24$ de $- 5$ .

$f (1) = \frac{- 29}{3}$

Étape 11.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (1) = - \frac{29}{3}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $- \frac{29}{3}$ .

$y = - \frac{29}{3}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (- 3) + 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 + 2$

Étape 13.2

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$- 4$

Étape 14

$x = - 3$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 3$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 3$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot - 27 + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Étape 15.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 9)) + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Étape 15.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 9) + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Étape 15.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 3) = - 9 + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Étape 15.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 - 3 \cdot - 3 - 8$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 + 9 - 8$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$f (- 3) = 0 + 9 - 8$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$f (- 3) = 9 - 8$

Étape 15.2.2.3

Soustrayez $8$ de $9$ .

$f (- 3) = 1$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$ .

$(1, - \frac{29}{3})$ est un minimum local

$(- 3, 1)$ est un maximum local

Étape 17