Calcul infinitésimal Exemples

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $t$ égale à $1$ .

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t = 7 (\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t - \sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t)$

Étape 2

Évaluez $\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t = \sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 \sum_{t = 1}^{9} t$

Étape 2.2

Évaluez $\sum_{t = 1}^{9} t^{2}$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

Étape 2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

Étape 2.2.3.2.4

Additionnez $18$ et $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.3.1

Multipliez $30$ par $19$ .

$\frac{570}{2}$

Étape 2.2.3.3.2

Divisez $570$ par $2$ .

$285$

Étape 2.3

Évaluez $7 \sum_{t = 1}^{9} t$ .

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Étape 2.3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 7) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Additionnez $9$ et $1$ .

$- 7 \frac{9 \cdot 10}{2}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $9$ par $10$ .

$- 7 (\frac{90}{2})$

Étape 2.3.3.3

Divisez $90$ par $2$ .

$- 7 \cdot 45$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $- 7$ par $45$ .

$- 315$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$285 - 315$

Étape 2.5

Soustrayez $315$ de $285$ .

$- 30$

Étape 3

Évaluez $\sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $t$ .

$1^{2} - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$1 - 7 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Étape 3.2.3

Soustrayez $7$ de $1$ .

$- 6 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Étape 3.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 6 + 4 - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$- 6 + 4 - 14 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Étape 3.2.6

Soustrayez $14$ de $4$ .

$- 6 - 10 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Étape 3.2.7

Soustrayez $10$ de $- 6$ .

$- 16 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Étape 3.2.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 16 + 9 - 7 \cdot 3$

Étape 3.2.9

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$- 16 + 9 - 21$

Étape 3.2.10

Soustrayez $21$ de $9$ .

$- 16 - 12$

Étape 3.2.11

Soustrayez $12$ de $- 16$ .

$- 28$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$7 (- 30 + 28)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Additionnez $- 30$ et $28$ .

$7 \cdot - 2$

Étape 5.2

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$- 14$