Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 4 x} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x - 4 x}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{1}{x (x - 4)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$

Étape 1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (x - 4)$ .

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.6.1.2

Divisez $A (x - 4)$ par $1$ .

$1 = A (x - 4) + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.6.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $A$ .

$1 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.6.4

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.6.4.2

Divisez $(B) (x)$ par $1$ .

$1 = A x - 4 A + (B) (x)$

$1 = A x - 4 A + B x$

Étape 1.1.7

Déplacez $- 4 A$ .

$1 = A x + B x - 4 A$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 4 A$

Étape 1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = - 4 A$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B$

Étape 1.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 4 A = 1$ par $- 4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 A = 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Étape 1.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Étape 1.3.1.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Étape 1.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- \frac{1}{4}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A + B$ par $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 1.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - \frac{1}{4} + B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{4} + B = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 1.3.3.2

Ajoutez $\frac{1}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 1.3.4

Résolvez le système d’équations.

$B = \frac{1}{4} A = - \frac{1}{4}$

Étape 1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = \frac{1}{4}, A = - \frac{1}{4}$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Étape 1.5.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- \frac{1}{4 x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Étape 1.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Étape 1.5.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{x - 4}$ .

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{2}^{3} \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x} d x) + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 4} d x$

Étape 7

Laissez $u = x - 4$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Laissez $u = x - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Différenciez $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 7.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 2 - 4$

Étape 7.3

Soustrayez $4$ de $2$ .

$u_{lower} = - 2$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Étape 7.5

Soustrayez $4$ de $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $3$ et sur $2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

Étape 9.2

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $- 1$ et sur $- 2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Étape 9.3

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{1}{4} (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Étape 10.2

Associez $\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Étape 10.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Étape 10.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Étape 11.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Étape 11.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{4}$

Étape 11.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 2$ et $0$ est $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

Forme décimale :

$- 0.27465307 \dots$

Étape 13