Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\cos^{2} (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sec^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 4

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sec^{2} (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \cos (x) (- \sin (x))$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \sin (x)$

Étape 7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Étape 7.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Étape 7.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

Étape 7.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

Étape 7.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 7.7

Associez $\sin (x)$ et $\frac{2}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$

Étape 7.8

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.9

Séparez les fractions.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 7.10

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- (\frac{2}{1} \tan (x))$

Étape 7.11

Divisez $2$ par $1$ .

$- (2 \tan (x))$

Étape 7.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \tan (x)$