Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} \sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.8.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.8.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\sin (2 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.8.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (2 - 3 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{\sin (- 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.8.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.8.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{2} + 3 x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{2} + 3 x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + 0)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.11

Additionnez $4 x + 3$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.14

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + 0}$

Étape 1.3.15

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Étape 2.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Étape 2.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 3)$

Étape 2.9

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)$

Étape 2.10

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\cos (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Étape 4.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\cos (2 - 3 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Étape 4.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\cos (- 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Étape 4.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\cos (0) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1 \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Étape 4.5

Multipliez $4 \cdot - 1 + 3$ par $1$ .

$4 \cdot - 1 + 3$

Étape 4.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 + 3$

Étape 4.7

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$- 1$