Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sin (\frac{x}{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Alors $d u = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 2 u \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int 2 u \sin (u) (1 \cdot 2) d u$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int 2 u \sin (u) \cdot 2 d u$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 u \sin (u) d u$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int u \sin (u) d u$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = \sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Étape 6

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Étape 6.2

Multipliez $\int \cos (u) d u$ par $1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Étape 7

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Étape 8

Réécrivez $4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ comme $4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Étape 10

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Étape 10.1

Associez $\cos (\frac{x}{2})$ et $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2} + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}$ dans le numérateur.

$4 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Étape 10.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Étape 10.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Étape 10.3.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Étape 10.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (\cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Étape 10.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 \cos (\frac{x}{2}) x + 4 \sin (\frac{x}{2})$ .

$- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x \cos (\frac{1}{2} x) + 4 \sin (\frac{1}{2} x) + C$