Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3}{\sqrt{z}}) d z$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3}{\sqrt{z}} d z$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{z}$ comme $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3}{z^{\frac{1}{2}}} d z$

Étape 3

Retirez $z^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) {(z^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d z$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${(z^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d z$

Étape 4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{\frac{- 1}{2}} d z$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5

Développez $(z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2}) z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (z^{6} + 3 z^{4}) z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int z^{6} z^{- \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int z^{6 - \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.5

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int z^{6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.6

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int z^{\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int z^{\frac{6 \cdot 2 - 1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.8.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\int z^{\frac{12 - 1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.8.2

Soustrayez $1$ de $12$ .

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{4 - \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.10

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.11

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{4 \cdot 2 - 1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.13.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{8 - 1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.13.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.14

Factorisez le signe négatif.

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - (z^{2} z^{- \frac{1}{2}}) - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{2 - \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.16

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.17

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.19.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{4 - 1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.19.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{3}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 5.20

Remettez dans l’ordre $z^{\frac{11}{2}}$ et $3 z^{\frac{7}{2}}$ .

$\int 3 z^{\frac{7}{2}} + z^{\frac{11}{2}} - z^{\frac{3}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 z^{\frac{7}{2}} d z + \int z^{\frac{11}{2}} d z + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $z$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int z^{\frac{7}{2}} d z + \int z^{\frac{11}{2}} d z + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $z^{\frac{7}{2}}$ par rapport à $z$ est $\frac{2}{9} z^{\frac{9}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{9} z^{\frac{9}{2}} + C) + \int z^{\frac{11}{2}} d z + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $z^{\frac{11}{2}}$ par rapport à $z$ est $\frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{9} z^{\frac{9}{2}} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 10

Associez $\frac{2}{9}$ et $z^{\frac{9}{2}}$ .

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - \int z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $z^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $z$ est $\frac{2}{5} z^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2}{5} z^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 13

Associez $\frac{2}{5}$ et $z^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 14

Comme $- 3$ est constant par rapport à $z$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - 3 \int z^{- \frac{1}{2}} d z$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $z^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $z$ est $2 z^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - 3 (2 z^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Simplifiez

$\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 z^{\frac{13}{2}}}{13} - \frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} - 3 (2 z^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 16.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 z^{\frac{13}{2}}}{13} - \frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} - 6 z^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{3} z^{\frac{9}{2}} + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} - \frac{2}{5} z^{\frac{5}{2}} - 6 z^{\frac{1}{2}} + C$