Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{3}{2}} \frac{- x - 3}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{3}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3}{2}} - x - 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Étape 3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 1}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 1}$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $\frac{3}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3}{2}$ pour $x$ .

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3}{2}$ pour $x$ .

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3}{2}$ pour $x$ .

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $2$ .

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Étape 8.1.1

Multipliez $\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$

Étape 8.1.2

Associez.

$\frac{2 (- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3)}{2 ({(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1)}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- \frac{3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Étape 8.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{2 (\frac{- 3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\frac{- 3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Multipliez $2 (- 1 \cdot 3)$ .

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Étape 8.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 + 2 \cdot - 3}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.4.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 - 6}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.4.2

Soustrayez $6$ de $- 3$ .

$\frac{- 9}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2 \cdot 2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2 \cdot 2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 9}{\frac{3^{2}}{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 + 2}$

Étape 8.5.5

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} + 2}$

Étape 8.5.6

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} + 2}$

Étape 8.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 9}{\frac{9 + 3 \cdot 2}{2} + 2}$

Étape 8.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.8.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- 9}{\frac{9 + 6}{2} + 2}$

Étape 8.5.8.2

Additionnez $9$ et $6$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + 2}$

Étape 8.5.9

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 8.5.10

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 8.5.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 9}{\frac{15 + 2 \cdot 2}{2}}$

Étape 8.5.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.12.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 9}{\frac{15 + 4}{2}}$

Étape 8.5.12.2

Additionnez $15$ et $4$ .

$\frac{- 9}{\frac{19}{2}}$

Étape 8.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 9 (\frac{2}{19})$

Étape 8.7

Multipliez $- 9 (\frac{2}{19})$ .

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Étape 8.7.1

Associez $- 9$ et $\frac{2}{19}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{19}$

Étape 8.7.2

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{- 18}{19}$

Étape 8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{18}{19}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{18}{19}$

Forme décimale :

$- 0.94736842 \dots$