Calcul infinitésimal Exemples

lim x \to \frac{3}{2} \frac{- x - 3}{x^{2} + x + 1}

$lim_{x \to \frac{3}{2}} \frac{- x - 3}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ .

\frac{lim x \to \frac{3}{2} - x - 3}{lim x \to \frac{3}{2} x^{2} + x + 1}

$\frac{lim_{x \to \frac{3}{2}} - x - 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ .

\frac{- lim x \to \frac{3}{2} x - lim x \to \frac{3}{2} 3}{lim x \to \frac{3}{2} x^{2} + x + 1}

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Étape 3

Évaluez la limite de

3

$3$ qui est constante lorsque

x

$x$ approche de

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ .

\frac{- lim x \to \frac{3}{2} x - 1 \cdot 3}{lim x \to \frac{3}{2} x^{2} + x + 1}

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ .

\frac{- lim x \to \frac{3}{2} x - 1 \cdot 3}{lim x \to \frac{3}{2} x^{2} + lim x \to \frac{3}{2} x + lim x \to \frac{3}{2} 1}

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 1}$

Étape 5

Déplacez l’exposant

2

$2$ de

x^{2}

$x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

\frac{- lim x \to \frac{3}{2} x - 1 \cdot 3}{{(lim x \to \frac{3}{2} x)}^{2} + lim x \to \frac{3}{2} x + lim x \to \frac{3}{2} 1}

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 1}$

Étape 6

Évaluez la limite de

1

$1$ qui est constante lorsque

x

$x$ approche de

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ .

\frac{- lim x \to \frac{3}{2} x - 1 \cdot 3}{{(lim x \to \frac{3}{2} x)}^{2} + lim x \to \frac{3}{2} x + 1}

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ pour toutes les occurrences de

x

$x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ pour

x

$x$ .

\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(lim x \to \frac{3}{2} x)}^{2} + lim x \to \frac{3}{2} x + 1}

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ pour

x

$x$ .

\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + lim x \to \frac{3}{2} x + 1}

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ pour

x

$x$ .

\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$

\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par

2

$2$ .

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Étape 8.1.1

Multipliez

\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$ par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{2}{2} \cdot \frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$

Étape 8.1.2

Associez.

\frac{2 (- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3)}{2 ({(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1)}

$\frac{2 (- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3)}{2 ({(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1)}$

\frac{2 (- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3)}{2 ({(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1)}

$\frac{2 (- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3)}{2 ({(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1)}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{2 (- \frac{3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}

$\frac{2 (- \frac{3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Étape 8.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 8.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

\frac{2 (\frac{- 3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}

$\frac{2 (\frac{- 3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\frac{- 3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Multipliez

$2 (- 1 \cdot 3)$ .

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Étape 8.4.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$\frac{- 3 + 2 \cdot - 3}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.4.1.2

Multipliez

$2$ par

$- 3$ .

$\frac{- 3 - 6}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.4.2

Soustrayez

$6$ de

$- 3$ .

$\frac{- 9}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1

Appliquez la règle de produit à

$\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5.2

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 8.5.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2^{2}$ .

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2 \cdot 2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2 \cdot 2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 9}{\frac{3^{2}}{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5.3

Élevez

$3$ à la puissance

$2$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Étape 8.5.4

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 + 2}$

Étape 8.5.5

Pour écrire

$3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} + 2}$

Étape 8.5.6

Associez

$3$ et

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} + 2}$

Étape 8.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 9}{\frac{9 + 3 \cdot 2}{2} + 2}$

Étape 8.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.8.1

Multipliez

$3$ par

$2$ .

$\frac{- 9}{\frac{9 + 6}{2} + 2}$

Étape 8.5.8.2

Additionnez

$9$ et

$6$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + 2}$

Étape 8.5.9

Pour écrire

$2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 8.5.10

Associez

$2$ et

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 8.5.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 9}{\frac{15 + 2 \cdot 2}{2}}$

Étape 8.5.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.12.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$\frac{- 9}{\frac{15 + 4}{2}}$

Étape 8.5.12.2

Additionnez

$15$ et

$4$ .

$\frac{- 9}{\frac{19}{2}}$

Étape 8.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 9 (\frac{2}{19})$

Étape 8.7

Multipliez

$- 9 (\frac{2}{19})$ .

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Étape 8.7.1

Associez

$- 9$ et

$\frac{2}{19}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{19}$

Étape 8.7.2

Multipliez

$- 9$ par

$2$ .

$\frac{- 18}{19}$

Étape 8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{18}{19}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{18}{19}$

Forme décimale :

$- 0.94736842 \dots$