Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{16 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}}}{3} d x$

Étape 1

Comme $\frac{16}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{16}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 2.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 - 2 x$ .

$u_{lower} = 3 - 2 \cdot 1$

Étape 2.3

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 - 2 x$ .

$u_{upper} = 3 - 2 \cdot 2$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 3.2

Associez $u^{\frac{5}{3}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} - \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{16}{3} (- \int_{1}^{- 1} \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u)$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{16}{3} (- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u))$

Étape 6

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{16}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $6$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$- \frac{2 (8)}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{8}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{5}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ .

$- \frac{8}{3} \frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}]_{1}^{- 1}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ sur $- 1$ et sur $1$ .

$- \frac{8}{3} ((\frac{3}{8} {(- 1)}^{\frac{8}{3}}) - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Étape 8.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Étape 8.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Étape 8.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $8$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Étape 8.2.5

Multipliez $\frac{3}{8}$ par $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Étape 8.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1)$

Étape 8.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8})$

Étape 8.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 3}{8}$

Étape 8.2.9

Soustrayez $3$ de $3$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{8}$

Étape 8.2.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $8$ .

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Étape 8.2.10.1

Factorisez $8$ à partir de $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 (0)}{8}$

Étape 8.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.10.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Étape 8.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Étape 8.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Étape 8.2.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot 0$

Étape 8.2.11

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 (\frac{8}{3})$

Étape 8.2.12

Multipliez $0$ par $\frac{8}{3}$ .

$0$

Étape 9