Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} + x}}{x}$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $16 x^{2} + x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $16 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x) + x}}{x}$

Étape 1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x) + x^{1}}}{x}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x) + x \cdot 1}}{x}$

Étape 1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (16 x) + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x + 1)}}{x}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x + 1)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x + 1)}{x^{2}}}}{1}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x + 1)}{x \cdot x}}}{1}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x + 1)}{x \cdot x}}}{1}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x + 1}{x}}}{1}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{16 x + 1}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 5.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{16 x + 1}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 5.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x + 1}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 7.1.2

Divisez $16$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 + \frac{1}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{16 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{16 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{16 + 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{16 + 0}{1}}}{1}$

Étape 9.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.1

Divisez $16 + 0$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{16 + 0}}{1}$

Étape 9.3.2

Divisez $- \sqrt{16 + 0}$ par $1$ .

$- \sqrt{16 + 0}$

Étape 9.3.3

Additionnez $16$ et $0$ .

$- \sqrt{16}$

Étape 9.3.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- \sqrt{4^{2}}$

Étape 9.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- 1 \cdot 4$

Étape 9.3.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4$