Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{5}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{3} x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$\frac{- 20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.2.6

Associez $\frac{- 20}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.3.3

Associez $5$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.3.4

Associez $\frac{5}{4}$ et $x^{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Étape 1.4

Comme $\frac{4}{15}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{15}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$ et $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x^{4}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 2.2.3

Associez $4$ et $\frac{5}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{20}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $20$ et $4$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 2.2.6.2.4

Divisez $5 x^{3}$ par $1$ .

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{20}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{20 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$5 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

Étape 2.3.4

Associez $- 3$ et $\frac{20}{3}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 3$ par $20$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

Étape 2.3.6

Associez $\frac{- 60}{3}$ et $x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

Étape 2.3.7

Annulez le facteur commun à $- 60$ et $3$ .

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Étape 2.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 60 x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

Étape 2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Étape 2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

Étape 2.3.7.2.4

Divisez $- 20 x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} - 20 x^{2}$