Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (x)}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.4.1

Multipliez $\ln (1)$ par $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.4.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.4

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x + 0}$

Étape 1.3.11

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{x}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.5

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (1)}{1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Divisez $1 + \ln (1)$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \ln (1))$

Étape 4.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$