Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{9} (\sqrt{x} - \frac{1}{3} x) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} - \frac{1}{3} x d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Étape 5

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \int_{0}^{9} x d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $9$ et sur $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Étape 7.2

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $9$ et sur $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.6

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.7

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 7.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.7.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.8

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.10.2

Réécrivez l’expression.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.12

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$18 + 0 (\frac{2}{3}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.13

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$18 + 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.14

Additionnez $18$ et $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.15

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.16

Associez $\frac{1}{2}$ et $81$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 7.3.17

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 7.3.18

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Étape 7.3.19

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0)$

Étape 7.3.20

Additionnez $\frac{81}{2}$ et $0$ .

$18 - \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{2}$

Étape 7.3.21

Multipliez $\frac{81}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$18 - \frac{81}{2 \cdot 3}$

Étape 7.3.22

Multipliez $2$ par $3$ .

$18 - \frac{81}{6}$

Étape 7.3.23

Annulez le facteur commun à $81$ et $6$ .

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Étape 7.3.23.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$18 - \frac{3 (27)}{6}$

Étape 7.3.23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.23.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Étape 7.3.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Étape 7.3.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$18 - \frac{27}{2}$

Étape 7.3.24

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Étape 7.3.25

Associez $18$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Étape 7.3.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Étape 7.3.27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.27.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$\frac{36 - 27}{2}$

Étape 7.3.27.2

Soustrayez $27$ de $36$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9}{2}$

Forme décimale :

$4.5$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{1}{2}$

Étape 9