Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- 2 x} + 2 x$

Étape 1

Écrivez $e^{- 2 x} + 2 x$ comme une fonction.

$f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int e^{- 2 x} + 2 x d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{- 2 x} d x + \int 2 x d x$

Étape 5

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 2 x d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 2 x d x$

Étape 6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 2 x d x$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 x d x$

Étape 10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int x d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

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$- \frac{1}{2} e^{u} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 12.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 1 x^{2} + C$

Étape 12.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + x^{2} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$