Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + y^{2} = 2 x + y + 15$ ;, $(- 3, 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + y + 15)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Étape 2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 2 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + y + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 + y' + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 3.4

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + y' + 0$

Étape 3.5

Additionnez $2 + y'$ et $0$ .

$2 + y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 2 x = 2 + y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' + 2 x - y' = 2$

Étape 5.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' - y' = 2 - 2 x$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y' - y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - y' = 2 - 2 x$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 - 2 x$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ par $2 y - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ par $2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y - 1$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2}{2 y - 1} - \frac{2 x}{2 y - 1}$

Étape 5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 - 2 x}{2 y - 1}$

Étape 5.4.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 x$ .

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Étape 5.4.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y' = \frac{2 (1) - 2 x}{2 y - 1}$

Étape 5.4.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- x)}{2 y - 1}$

Étape 5.4.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$y' = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

Étape 7

Remplacez $x$ par $- 3$ et $y$ par $1$ dans l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - (- 3))}{2 (1) - 1}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{2 (1 + 3)}{2 (1) - 1}$

Étape 8.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1) - 1}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 - 1}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{1}$

Étape 8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8}{1}$

Étape 8.3.2

Divisez $8$ par $1$ .

$8$