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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Évaluez .
Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.2.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.2.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.5
Multipliez par .
Étape 1.2.6
Déplacez à gauche de .
Étape 1.2.7
Multipliez par .
Étape 1.3
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Additionnez et .
Étape 2
Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.3
Différenciez.
Étape 2.3.1
Multipliez par .
Étape 2.3.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.3
Multipliez par .
Étape 2.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.5
Multipliez par .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Étape 4.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 4.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 4.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.1.2
Divisez par .
Étape 4.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 4.3.1
Divisez par .
Étape 5
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 6
Étape 6.1
La valeur exacte de est .
Étape 7
Étape 7.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 7.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 7.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 7.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 7.2.1.2
Divisez par .
Étape 7.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 7.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 7.3.2
Multipliez .
Étape 7.3.2.1
Multipliez par .
Étape 7.3.2.2
Multipliez par .
Étape 8
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 9
Étape 9.1
Simplifiez
Étape 9.1.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 9.1.2
Associez et .
Étape 9.1.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 9.1.4
Multipliez par .
Étape 9.1.5
Soustrayez de .
Étape 9.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 9.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 9.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 9.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 9.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 9.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 9.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 9.2.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 9.2.3.2
Multipliez .
Étape 9.2.3.2.1
Multipliez par .
Étape 9.2.3.2.2
Multipliez par .
Étape 10
La solution de l’équation est .
Étape 11
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 12
Étape 12.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 12.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 12.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 12.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 12.2
La valeur exacte de est .
Étape 12.3
Multipliez par .
Étape 13
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 14
Étape 14.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.2
Simplifiez le résultat.
Étape 14.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 14.2.1.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 14.2.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 14.2.1.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 14.2.1.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 14.2.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 14.2.1.3
Multipliez par .
Étape 14.2.2
La réponse finale est .
Étape 15
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 16
Étape 16.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 16.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 16.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 16.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 16.2
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
Étape 16.3
La valeur exacte de est .
Étape 16.4
Multipliez .
Étape 16.4.1
Multipliez par .
Étape 16.4.2
Multipliez par .
Étape 17
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 18
Étape 18.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 18.2
Simplifiez le résultat.
Étape 18.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 18.2.1.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 18.2.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 18.2.1.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 18.2.1.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 18.2.1.2
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
Étape 18.2.1.3
La valeur exacte de est .
Étape 18.2.1.4
Multipliez .
Étape 18.2.1.4.1
Multipliez par .
Étape 18.2.1.4.2
Multipliez par .
Étape 18.2.2
La réponse finale est .
Étape 19
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
Étape 20