Calcul infinitésimal Exemples

Trouver la valeur maximale/minimale f(x)=2sin(2x)-pi/2
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.2.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.5
Multipliez par .
Étape 1.2.6
Déplacez à gauche de .
Étape 1.2.7
Multipliez par .
Étape 1.3
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Additionnez et .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.3
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Multipliez par .
Étape 2.3.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.3
Multipliez par .
Étape 2.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.3.5
Multipliez par .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 4.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.1.2
Divisez par .
Étape 4.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Divisez par .
Étape 5
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 6
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
La valeur exacte de est .
Étape 7
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 7.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 7.2.1.2
Divisez par .
Étape 7.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 7.3.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.3.2.1
Multipliez par .
Étape 7.3.2.2
Multipliez par .
Étape 8
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 9
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 9.1.2
Associez et .
Étape 9.1.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 9.1.4
Multipliez par .
Étape 9.1.5
Soustrayez de .
Étape 9.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 9.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 9.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 9.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 9.2.3.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.3.2.1
Multipliez par .
Étape 9.2.3.2.2
Multipliez par .
Étape 10
La solution de l’équation est .
Étape 11
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 12.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 12.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 12.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 12.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 12.2
La valeur exacte de est .
Étape 12.3
Multipliez par .
Étape 13
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 14
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.2.1.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.2.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 14.2.1.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 14.2.1.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 14.2.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 14.2.1.3
Multipliez par .
Étape 14.2.2
La réponse finale est .
Étape 15
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 16
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 16.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 16.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 16.2
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
Étape 16.3
La valeur exacte de est .
Étape 16.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.4.1
Multipliez par .
Étape 16.4.2
Multipliez par .
Étape 17
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 18
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 18.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.2.1.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.2.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 18.2.1.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 18.2.1.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 18.2.1.2
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
Étape 18.2.1.3
La valeur exacte de est .
Étape 18.2.1.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.2.1.4.1
Multipliez par .
Étape 18.2.1.4.2
Multipliez par .
Étape 18.2.2
La réponse finale est .
Étape 19
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
Étape 20