Calcul infinitésimal Exemples

$2 y^{2} - 4 = 4 x^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - 4) = \frac{d}{d x} (4 x^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 y y' + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $4 y y'$ et $0$ .

$4 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x)$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 y y' = 8 x$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $4 y y' = 8 x$ par $4 y$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $4 y y' = 8 x$ par $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{8 x}{4 y}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{8 x}{4 y}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8 x}{4 y}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8 x}{4 y}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{8 x}{4 y}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$y' = \frac{4 (2 x)}{4 y}$

Étape 5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y$ .

$y' = \frac{4 (2 x)}{4 (y)}$

Étape 5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4 (2 x)}{4 y}$

Étape 5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 x}{y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$