Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)} d x$

Étape 4

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} d u$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $u^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{5 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\int u^{- 5} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 5}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$

Étape 7

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Étape 7.1

Réécrivez $- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$ comme $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{4}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{u^{4} \cdot 4} + C$

Étape 7.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $u^{4}$ .

$- \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{4 \sin^{4} (x)} + C$

Étape 9

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Étape 9.1

Multipliez par $1$ .

$- \frac{1}{4 (\sin^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Étape 9.2

Séparez les fractions.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{4} (x)}) + C$

Étape 9.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{4} (x)}$ à $\csc^{4} (x)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \csc^{4} (x)) + C$

Étape 9.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$- (\frac{1}{4} \csc^{4} (x)) + C$

Étape 9.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $\csc^{4} (x)$ .

$- \frac{\csc^{4} (x)}{4} + C$

Étape 9.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$