Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{2}{x^{2}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{2}{x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{2}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{2}{x^{2}}$ .

$1 \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 5.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 5.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 5.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$x^{2} (- 2 x^{- 3})$

Étape 7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $x^{- 3}$ .

$x^{- 3} x^{2} \cdot - 2$

Étape 7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{- 3 + 2} \cdot - 2$

Étape 7.3

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$x^{- 1} \cdot - 2$

Étape 8

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{- 1}$ .

$- 2 \cdot x^{- 1}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x}$

Étape 9.2

Associez des termes.

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Étape 9.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x}$

Étape 9.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x}$