Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{- x}}{- 3 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{3 x}]$

Étape 1.2

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{e^{- x}}{3 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 4.5

Associez les fractions.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $\frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2} \cdot 3}$

Étape 4.5.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{3 \cdot x^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{- x e^{- x} - e^{- x}}{3 x^{2}}$

Étape 5.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- x e^{- x} - e^{- x}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- x e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x} (- x) - e^{- x}}{3 x^{2}}$

Étape 5.2.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1}{3 x^{2}}$

Étape 5.2.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$- \frac{e^{- x} (- x - 1)}{3 x^{2}}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1)}{3 x^{2}}$

Étape 5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1 (1))}{3 x^{2}}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{e^{- x} (- (x + 1))}{3 x^{2}}$

Étape 5.6

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{e^{- x} (- 1 (x + 1))}{3 x^{2}}$

Étape 5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

Étape 5.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

Étape 5.9

Multipliez $\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$