Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{k} \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \ln (4)$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = k^{2} + 4$

Étape 1.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = k^{2} + 4$

Étape 1.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{2 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{k^{2} + 4}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $k^{2} + 4$ et sur $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| k^{2} + 4 |) - \ln (| 4 |))$

Étape 6

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Étape 6.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})}{2}$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{| 4 |} | k^{2} + 4 |)$

Étape 8

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Étape 8.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{4} | k^{2} + 4 |)$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $| k^{2} + 4 |$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$

Étape 8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$ .

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})}{2}$