Calcul infinitésimal Exemples

$y (x) = e^{x^{3} - 8}$ , $x = 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{3} - 8$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 8$ .

$e^{x^{3} - 8} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$e^{x^{3} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 1.2.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + 0)$

Étape 1.2.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$

Étape 1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3} - 8}$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$y' (2) = 3 {(2)}^{2} e^{{(2)}^{3} - 8}$

Étape 3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y' (2) = 3 \cdot (4 e^{{(2)}^{3} - 8})$

Étape 4

Multipliez $3$ par $4$ .

$y' (2) = 12 e^{{(2)}^{3} - 8}$

Étape 5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y' (2) = 12 e^{8 - 8}$

Étape 6

Soustrayez $8$ de $8$ .

$y' (2) = 12 e^{0}$

Étape 7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y' (2) = 12 \cdot 1$

Étape 8

Multipliez $12$ par $1$ .

$y' (2) = 12$