Calcul infinitésimal Exemples

$\int (5 x - 1) \sqrt{x} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (5 x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2

Développez $(5 x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 5 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 5 x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 5 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 5 x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 5 x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Simplifiez

$5 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $5$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 8.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$