Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{x - b}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $b$ .

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $10$ de ${(x - b)}^{10}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $b$ qui est constante lorsque $x$ approche de $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez la limite de $4 b$ qui est constante lorsque $x$ approche de $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $b$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $b$ pour $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $b$ pour $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{10} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.8.1

Associez les termes opposés dans ${(b - b)}^{10} - 4 b + 4 b$ .

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Étape 1.1.2.8.1.1

Soustrayez $b$ de $b$ .

$\frac{0^{10} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2.8.1.2

Additionnez $- 4 b$ et $4 b$ .

$\frac{0^{10} + 0}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2.8.1.3

Additionnez $0^{10}$ et $0$ .

$\frac{0^{10}}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.2.8.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $b$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $b$ qui est constante lorsque $x$ approche de $b$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $b$ pour $x$ .

$\frac{0}{b - b}$

Étape 1.1.3.3

Soustrayez $b$ de $b$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{x - b} = lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{10}$ et $g (x) = x - b$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 u^{9} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - b$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.3.4

Comme $- b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $10$ par $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.5

Comme $4 b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $10 {(x - b)}^{9} - 4$ et $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - b$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- b]}$

Étape 1.3.9

Comme $- b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1}$

Étape 1.4

Divisez $10 {(x - b)}^{9} - 4$ par $1$ .

$lim_{x \to b} 10 {(x - b)}^{9} - 4$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $b$ .

$lim_{x \to b} 10 {(x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

Étape 2.2

Placez le terme $10$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$10 lim_{x \to b} {(x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

Étape 2.3

Déplacez l’exposant $9$ de ${(x - b)}^{9}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $b$ .

$10 {(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $b$ qui est constante lorsque $x$ approche de $b$ .

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $b$ .

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - 1 \cdot 4$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $b$ pour $x$ .

$10 {(b - b)}^{9} - 1 \cdot 4$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Soustrayez $b$ de $b$ .

$10 \cdot 0^{9} - 1 \cdot 4$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$10 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

Étape 4.2.2

Multipliez $10$ par $0$ .

$0 - 1 \cdot 4$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$0 - 4$

Étape 4.3

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$