Calcul infinitésimal Exemples

$x + \frac{27}{2 x^{2}}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{27}{2 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{27}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{27}{2 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$1 + \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 + \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$1 + \frac{27}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$1 + \frac{27}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 + \frac{27}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \frac{27}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$1 + \frac{27}{2} (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.10

Associez $- 2$ et $\frac{27}{2}$ .

$1 + \frac{- 2 \cdot 27}{2} x^{- 3}$

Étape 2.11

Multipliez $- 2$ par $27$ .

$1 + \frac{- 54}{2} x^{- 3}$

Étape 2.12

Associez $\frac{- 54}{2}$ et $x^{- 3}$ .

$1 + \frac{- 54 x^{- 3}}{2}$

Étape 2.13

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 54}{2 x^{3}}$

Étape 2.14

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $2$ .

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Étape 2.14.1

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 x^{3}}$

Étape 2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 (x^{3})}$

Étape 2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 x^{3}}$

Étape 2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- 27}{x^{3}}$

Étape 2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{27}{x^{3}}$

Étape 3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{27}{x^{3}} + 1$