Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{x^{2} + 2 x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.6

Placez le terme $10$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.8.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.8.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.8.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.8.1.4

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.8.1.5

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.8.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.2.8.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 1.3.5.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3.5.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2 \cdot 1}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $6 x^{2} + 10 x - 10$ et $2 x + 2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + 10 x - 10}{2 x + 2}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (5 x) - 10}{2 x + 2}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2}) + 2 (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x) - 10}{2 x + 2}$

Étape 1.4.4

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x) + 2 \cdot - 5}{2 x + 2}$

Étape 1.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2} + 5 x) + 2 (- 5)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 x + 2}$

Étape 1.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x) + 2}$

Étape 1.4.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x) + 2 (1)}$

Étape 1.4.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x + 1)}$

Étape 1.4.6.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x + 1)}$

Étape 1.4.6.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 5 x - 5}{x + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 5 x - 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 2.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Étape 4.1.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{0 + 0 - 5}{0 + 1}$

Étape 4.1.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 - 5}{0 + 1}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $5$ de $0$ .

$\frac{- 5}{0 + 1}$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{- 5}{1}$

Étape 4.3

Divisez $- 5$ par $1$ .

$- 5$