Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} + x + 2$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

Étape 3.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

Étape 3.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

Étape 3.2.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2$

Étape 3.2.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + 2$

Étape 3.2.3.3

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.2.3.5

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 8}{4}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 8}{4}$

Étape 3.2.5.3

Additionnez $- 1$ et $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{7}{4}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{1}{2}, \frac{7}{4})$

Étape 5