Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}$

Étape 1

Réécrivez $x^{3}$ comme ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = x^{3}$ . Alors $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{u_{1} + 1}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Étape 3.3

Déplacez $3$ à gauche de $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 5

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} + 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 8

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Étape 8.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$